Schöneste Gleichung

[ts_tommy]

In den 90er Jahren gab es eine Umfrage unter Mathematikern:
Was ist die schönste Formel?

Es siegte mit großem Abstand eine Gleichung, die auf Leonard Euler zurückgeht.
In ihr sind 5 der wichtigsten Zahlen der Mathematik zusammengefasst:



soweit, so gut. nur wie zum geier kann die denn stimmen?
i ist doch keine 'richtige' zahl, ich dachte immer, nur durch quadrieren kann
man diese zahl wirklich sinnvoll nutzen. so aber muss e^ipi = -1 ergeben.

kann mir das irgendjemand hier herleiten?

ps. wikipedia hilft mir nicht weiter

[mnz3000]

http://de.wikipedia.org/wiki/Eulersche_Relation

Polarform der komplexen Zahlen. Pi entspricht 180° Phasenwinkel, d.h. der imaginäre Anteil ist Null und der reale zeigt auf der Realteilachse in negative Richtung.
Herleiten kann ich dir das nicht, kenne das wie im wiki-Artikel nur durch Reihenentwicklung.

edit:
Sogar mit Animation der Reihenentwicklung

[ts_tommy]

diesen artikel habe ich verlinkt

[mnz3000]

Mhm, ok, hab ich übersehen. Aber ich hab ja noch mehr geschrieben.
Ich glaube so ganz einfach kann dir keiner erklären, warum gilt. Deshalb macht man eben Taylorreihenentwicklung und dort sieht man ziemlich leicht, durch Ausklammern, dass es richtig ist. Anschaulich ist es aber eher in der komplexen Zahlenebene (s. wiki).

sin (rechte Klammer):


cos (linke Klammer):


e^(i*z):


edit: Die sehen hier ja richtig gut aus

[dunnyr]

Nochmal in Worten: (ich fand die Sache damals in Analysis auch furchtbar cool btw.!)

e^{ix} beschreibt den "Einheitskreis" (Kreis mit Radius 1) in der Komplexen Ebene (normale x-Achse und auf der y-Achse Werte in "Einheiten" von i), weil in e^{ix} sowohl sin(x) als auch cos(x) drinstecken. ("weil" ist hier eigentlich nicht korrekt. Es ist eher so, dass man zuerst e^{ix} hat und dann die 2 Winkelfunktionen bekommt - aber man kennt sin und cos einfach besser) Nun kann man wie mnz3000 schon gesagt hat die Zahl Pi mit dem Winkel 180° identifizieren. Denn der Umfang ist ja 2*pi*r = 2*pi*1, wobei man einmal komplett rumgehen würde (360°). Man läuft quasi auf dem Rand des Kreises lang.
Hab ich e^{i*pi/2} bin ich also bei +i (weil ich 90° weiter gegangen bin). Nochmal pi/2 mehr, bin ich bei -1 (wieder auf der reellen Achse). Nochmal pi/2 mehr bin ich bei -i (wieder imaginäre Achse) und nochmal pi/2 und ich hab meine 2pi, bin also wieder bei 1.
Da fällt auch auf dass e^{i*2*pi} = e^{i*0} sein muss. Jede Zahl hoch 0 ist 1 (sogar 0^0 wird so defineirt, soweit ich mich erinnern kann) - Also sieht man hier auch, dass die komplexe e-funktion 2-pi-periodisch ist. Und siehe da: Sinus und Cosinus sind es ja auch.

Also nochmal die Formel

0 = 1 - e^{i*pi} = 1 - 1

Du merkst schon - die Gleichung ist in der Tat sehr schön, man kann sich selbst als Mathematischer Stümper der ich einer bin (Bin Physiker), beliebig darüber auslassen!

[k4mi]

Das Wichtigste ist erstmal zu akzeptieren, dass "jede" Zahl eine komplexe ist
Beispiele:

z1 = 2 = 2 + i * 0;
z2 = 2i = 0 + 2i ;

Graphisch dargestellt erhältst du einen Zeiger mit x und y Komponente (Realteil, Imaginärteil). Zeichne dir mal ein rechtwinkliges Dreieck mit einer Hypothenuse von 1 auf und du wirst sehen, dass sich die Katheten zu i * sin(phi) und cos(phi) ergeben (Winkelfunktionen), wobei phi den Winkel zwischen Zeiger und x-Achse darstellt (reelle Achse).

Jetzt kommt der genannte Schritt über die Reihenentwicklung, in der gezeigt wird, dass cos(phi) + i*sin(phi) = e^(iphi) ist.

z3 = z1 + z2 = 2i + 2 = 2.8 e^(i45°)

[Nomschta]

sei epsilon kleiner null

HAHAHAHHA

finde die gleichung auch schön, die ist auch super:

sin²x+cos²x = 1

was auch noch interessant wäre: die nützlichste gleichung. aber da werden sich die hier vertretenen fachbereiche die haare ausreissen . ich persönlich werd ja beim theorem von wiener khintchine schon ein bisschen geil.

[ts_tommy]

ah so sagt man das doch gleich am anfang!
danke ihr zwei!

nomschta bitte weitergehen

[TheDoat]

n + 1 = c + 3


eheh