Nochmal in Worten: (ich fand die Sache damals in Analysis auch furchtbar cool btw.!)
e^{ix} beschreibt den "Einheitskreis" (Kreis mit Radius 1) in der Komplexen Ebene (normale x-Achse und auf der y-Achse Werte in "Einheiten" von i), weil in e^{ix} sowohl sin(x) als auch cos(x) drinstecken. ("weil" ist hier eigentlich nicht korrekt. Es ist eher so, dass man zuerst e^{ix} hat und dann die 2 Winkelfunktionen bekommt - aber man kennt sin und cos einfach besser) Nun kann man wie mnz3000 schon gesagt hat die Zahl Pi mit dem Winkel 180° identifizieren. Denn der Umfang ist ja 2*pi*r = 2*pi*1, wobei man einmal komplett rumgehen würde (360°). Man läuft quasi auf dem Rand des Kreises lang.
Hab ich e^{i*pi/2} bin ich also bei +i (weil ich 90° weiter gegangen bin). Nochmal pi/2 mehr, bin ich bei -1 (wieder auf der reellen Achse). Nochmal pi/2 mehr bin ich bei -i (wieder imaginäre Achse) und nochmal pi/2 und ich hab meine 2pi, bin also wieder bei 1.
Da fällt auch auf dass e^{i*2*pi} = e^{i*0} sein muss. Jede Zahl hoch 0 ist 1 (sogar 0^0 wird so defineirt, soweit ich mich erinnern kann) - Also sieht man hier auch, dass die komplexe e-funktion 2-pi-periodisch ist. Und siehe da: Sinus und Cosinus sind es ja auch.
Also nochmal die Formel
0 = 1 - e^{i*pi} = 1 - 1
Du merkst schon - die Gleichung ist in der Tat sehr schön, man kann sich selbst als Mathematischer Stümper der ich einer bin (Bin Physiker), beliebig darüber auslassen!