Stetige Funktion; jeder Wert zweimal unmöglich -> Beweis

[psycco]

schwierig einen guten topictitel zu finden, hoffe ist einigermaßen geglückt

es geht um diese aufgabe:

(sorry ist etwas groß geworden)


der inhalt bzw. die lösung ist ja logisch und mir auch klar, aber wie man den beweis mathematisch formulieren soll, weiss ich nicht ..
ich verstehe auch nicht warum man dazu den zwischenwertsatz brauchen sollte?

kann mir jemand dabei helfen? wäre toll
wir sind zu acht nicht drauf gekommen ..

gruss

[Menace2Sobriety]

...narf (war zu voreilig)

[psycco]

inwiefern? :>
kennst du die aufgabe etwa auch vom letzten übungszettel? =)

[Menace2Sobriety]

Ok, zweiter Versuch.

Angenommen, die Behauptung ist wahr.
Sei f(p_1) = sup{f(x), x aus I}, f(q_1) = inf{f(x), x aus I}.
Dann gibt es genau zwei Punkte p_2, q_2 aus I mit f(q_1) = f(q_2), f(p_1) = f(p_2).
Falls f(p_1) = f(q_1), dann ist f konstant auf I => Widerspruch.
Sei also f(p_1) <> f(q_1).
Nun gelte ohne Einschränkung p_1 < q_1 < p_2 < q_2.
Nach Zwischenwertsatz ex. zu c = (f(p_1) + f(q_1))/2 Punkte x_1 aus [p_1, q_1], x_2 aus [q_1, p_2] und x_3 aus [p_2, q_2] mit f(x_1) = f(x_2) = f(x_3) = c => Widerspruch.

Ich hoffe mal, das stimmt so. Sonst berichtige mich bitte jemand

[j5pXcaA4]

Menace2Sobriety: Du schreibst in sehr suggestiver Weise
"f(p_1) = sup{f(x), x aus I}"
doch woher weißt du, dass ein solches p_1 existiert? Das Supremum muss im eigentlichen Sinn überhaupt nicht existieren und selbst wenn es existiert, muss es noch nicht zu f(I) gehören. Das gilt nur dann sicher, wenn I kompakt ist.

Edit:
Ok, ich denke, das ist doch kein Problem, da man die Argumentation einfach auf ein kompaktes Teilintervall von I anwenden kann, um einen Widerspruch zu erhalten.
Ich sehe aber zum Beispiel nicht, warum
p_1<q_1<p_2<q_2 gelten soll. Kannst du das noch begründen?

Edit2: Hm, jetzt bin ich mir nicht mehr sicher, ob es mit einem kompakten Teilintervall wirklich funktioniert. Ich denke nochmal drüber nach.

[Menace2Sobriety]

Original erstellt von Philipp-ER
Das gilt nur dann sicher, wenn I kompakt ist.

Stimmt, das habe ich klammheimlich vorausgesetzt (wegen der Anmerkung zum 'Satz von Maximum bzw. Minimum').

Ich sehe aber zum Beispiel nicht, warum
p_1<q_1<p_2<q_2 gelten soll. Kannst du das noch begründen?

Den Widerspruch könnte man genauso leicht für andere Reihenfolgen der Punkte erreichen (z.B. p_1<p_2<q_1<q_2). Habe die Reihenfolge halt der Einfachheit halber gewählt ;>

[Zierpflanze]

http://www.uni-math.gwdg.de/schick/teac ... ungen8.pdf
aufg 2

[psycco]

ich bedanke mich bei euch allen
habs verstanden =)