quadratische Gleichungen

[^dem0n^]

Um es gleich vorweg zu nehmen: Ja, ich bin ein Mathe-Idiot.

Die Aufgabe war folgende: Man soll an die Zeichnung eines Brückenbogens (w = 160m, h = 69 m) ein Koordinatensystem anlegen, und eine Gleichung für die Parabel erstellen. Ich komme einfach nicht auf Ergebnis, das auf dem Lösungsblatt steht.

Anhand der Zeichnung kann ich erkennen, daß die Parabel gestaucht ist (a = - 1/4). Wenn ich das Koordinatensystem wie in der Lösung so anlege, daß die Höhe der y-Achse entspricht, dann bedeutet das doch, daß der Scheitelpunkt S (0/69) ist.

Anhand der Scheitelform f(x) = a (x - xs)^2 + ys müsste man jetzt die Gleichung der Parabel ausrechnen können.

Ich setze ein: f(x) = - 1/4 (x - 0)^2 +69 (oder?)

Auf dem Lösungsblatt steht als Gleichung der Parabel:
f(x) = - 69/6400 x^2 + 69
Hmm?! Wie kommt man darauf?
Zieht man aus 6400 die Wurzel, kommt man auf 80, was die Hälfte von 160 ist, was der Weite der Brücke entspricht. Wie kommt denn da die Weite ins Spiel, wenn xs = 0 ist? Dafür müsste ich doch das Koordinatensystem ganz anders anlegen. Und wo kommen die - 69/6400 her?

[Mithrandir]

Du brauchst drei Punkte für ne quadratische Gleichung. Die beiden Enden (x-Werte 0 und 160) haben die selbe Höhe (y-Wert 0). In der Mitte (x-Wert: arithmetisches Mittel von 0 und 160 = (0+160)/2 = 80) ist der Scheitelpunkt (y-Wert 69).

Damit ergeben sich folgende drei Punkte: A(0|0), B(160|0) und S(80|69).

Ich lege dabei mal folgende "Zeichnung" zu grunde:

Code: Alles auswählen

  | y             S
69|           /---*---\
  |    /-----/         \----\
  |A--/                      \---B   x
 0*-------------------------------*----
  0              80              160

* bezeichne einen Punkt (der durch A,B,S gekennzeichnet ist) und /---/ soll die Kurve skizzieren.

Dann bringt dir die Scheitelpunktsform in sofern nichts, als du den Parameter a nicht kennst. Aus ner Zeichnung abzulesen klingt für mich irgendwie nach einem nicht erlaubten Weg...

Ich würde mit den drei Punkten und der allgemeinen Parabelgleichung f(x)=ax²+bx+c ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten aufstellen und lösen.

[Bananenbrot]

Original erstellt von MithrandiR
Du brauchst drei Punkte für ne quadratische Gleichung. Die beiden Enden (x-Werte 0 und 160) haben die selbe Höhe (y-Wert 0). In der Mitte (x-Wert: arithmetisches Mittel von 0 und 160 = (0+160)/2 = 80) ist der Scheitelpunkt (y-Wert 69).

Damit ergeben sich folgende drei Punkte: A(0|0), B(160|0) und S(80|69).

Ich lege dabei mal folgende "Zeichnung" zu grunde:

Code: Alles auswählen

  | y             S
69|           /---*---\
  |    /-----/         \----\
  |A--/                      \---B   x
 0*-------------------------------*----
  0              80              160

* bezeichne einen Punkt (der durch A,B,S gekennzeichnet ist) und /---/ soll die Kurve skizzieren.

Dann bringt dir die Scheitelpunktsform in sofern nichts, als du den Parameter a nicht kennst. Aus ner Zeichnung abzulesen klingt für mich irgendwie nach einem nicht erlaubten Weg...

Ich würde mit den drei Punkten und der allgemeinen Parabelgleichung f(x)=ax²+bx+c ein Gleichungssystem mit drei Unbekannten aufstellen und lösen. [/b]

Die Scheitelpunktform bringt insofern sehr viel, als man nur einen Parameter übrig hat, den man bestimmen muss. So dass man neben dem Punkt S nur noch den Punkt A einsetzen muss und sich ca. tausendmillionen Rechenschritte erspart.


Wenn man sich das ganze noch etwas einfacher machen will, so wie es in der Musterlösung gedacht ist, legt man den Scheitelpunkt auf die y-Achse und erhält dann als Punkte:
S(0/69)
A(-80/0)
B(0/80)
In die Scheitelpunktform eingesetzt ergibt das:
f(x)=a(x-0)²+69=ax²-69
Und jetzt muss man noch a ausrechnen. (und nicht ablesen, das ist nun wirklich unfein. Das wird einem doch schon in der Mittelstufe ausgetrieben, oder? )
Dazu nimmt man einen der Punkte, die man noch hat:
Zum Beispiel A (x ist die erste Koordinate, f(x) die zweite):
(-80/0) eingesetzt in f(x)=ax²+69 ergibt:
0=a*6400+69 |-69
<=> -69=a*6400 |:6400
<=> a=-6400/69

was ja auch in der Musterlösung herauskommt.

[^dem0n^]

Hmm, achso! Dankeschön, jetzt wird mir einiges klar.

Naja... die Mittelstufe ist bei mir schon eine Weile her, und was Mathe angeht, bin ich nicht gerade mit einem Langzeitgedächtnis gesegnet. Man darf doch den Scheitelpunkt auch einfach so ablesen, warum dann nicht auch a? Ist das zu ungenau?

In dem Zusammenhang "quadratische Gleichungen" habe ich noch eine Frage zu einer anderen Aufgabe:

Wenn ich den Term 2y = -2x + 18 durch 2 teile, ist das Ergebnis y = -x + 9, oder? In meinen Lösungen steht nämlich y = -x + 18; muss man die 18 nicht auch durch 2 teilen?

[Mithrandir]

Original erstellt von ^dem0n^
Wenn ich den Term 2y = -2x + 18 durch 2 teile, ist das Ergebnis y = -x + 9, oder? In meinen Lösungen steht nämlich y = -x + 18; muss man die 18 nicht auch durch 2 teilen?

Gleichungsumformungen: man muss mit beiden Seiten (den kompletten!) das selbe machen. Das bedeutet in deinem Fall:

(2y) / 2 = (-2x + 18) / 2
y = -x + 9

Das ist wohl ein Fehler in der Lösung (vorausgesetzt dein Ausgangspunkt vorher war korrekt)

[Bananenbrot]

Hm, naja, also zunächst mal: Den Scheitelpunkt kann man für gewöhnlich sehr genau ablesen, man tut es trotzdem nicht. Die Stauchung/Streckung kann überlicherweise nicht so genau ablesen, eher gelingt es einem unter Umständen drei Punkte abzulesen, und daraus die Stauchung/Streckung zu berechnen.
Jetzt mal ehrlich: Wie liest man denn die Stauchung einer Parabel ab?

[^dem0n^]

Nochmal dankeschön, auch für die schnellen Antworten!

@ Bananenbrot: Willst Du das ernsthaft wissen? Ich glaube nämlich, DEN Gedankengang behalte ich lieber für mich