Problem mit Jordan-Maß

[j5pXcaA4]

Hi.
Ich denke schon länger darüber nach, wie man beweisen könnte, dass jede kompakte Teilmenge des R^n Jordan-messbar ist (also ein endliches Jordanmaß hat), doch mir fällt einfach kein Ansatz ein.
Ich kenne leider auch nicht viele Kriterien zur Jordan-Messbarkeit und die mir bekannten kann ich hier nicht anwenden.
Noch kurz zu den Begriffen:
Das Jordanmaß einer beschränkten Teilmenge B des R^n haben wir über das Integral der charakteristischen Funktion von B definiert.
Außerdem kenne ich unter anderem folgende Sätze:
B ist genau dann Jordan-messbar, wenn ihr Rand @B eine Nullmenge ist.

B ist genau dann Jordan-messbar, wenn ihr Rand @B eine Jordan-Nullmenge ist.

Desweiteren kenne ich sowohl für (Lebesgue-)Nullmengen als auch für Jordan-Nullmengen die Überdeckungskriterien:
(Lebesgue-)Nullmenge: M ist Nullmenge <=>
Zu epsilon>0 existieren höchstens abzählbar viele offene Intervalle, die M überdecken und deren Inhaltssumme <=epsilon ist.

Jordan-Nullmenge: M ist Jordan-Nullmenge <=>
Zu epsilon>0 existieren endlich viele kompakte Intervalle, die M überdecken und deren Inhaltssumme <=epsilon ist.

Für Hinweise wäre ich sehr dankbar und wenn man für den Beweis Sätze braucht, die ich nicht kenne, ist das auch ok, dann werde ich mir diese halt noch irgendwo raussuchen.
Gruß
Philipp

[j5pXcaA4]

Ok, offensichtlich hatte der Prof die Aufgabe falsch gestellt, die Aussage stimmt so nämlich nicht.
Es gibt Varianten der Cantormenge, die keine inneren Punkte haben, also nur aus Randpunkten bestehen, kompakt sind und ein positives Lebesguemaß haben.
Ihr Rand ist also keine Nullmenge und damit sind sie nicht Jordan-messbar, im Widerspruch zur Aussage.
Hat jemand eine Idee, ob es ein ähnliches Beispiel auch für offene, beschränkte Mengen gibt oder ob die Aussage vielleicht für offene, beschränkte Mengen doch gilt, ob also gilt, dass jede offene, beschränkte Teilmenge des R^n Jordan-messbar ist?