Flächenberechnung einer Funktion

[geco]

Hallo Leute,

und zwar habe ich eine Frage, die für Euch sicher kein Problem sein wird:

Ich muss die Fläche einer unbekannten Funktion ausrechnen.
Dazu werde ich den Graph in drei Bereiche unterteilen:

1) Flächenberechnung mittels Flächenformel Dreieck (sehr gute Näherung)
2) Flächenberechnung mittels Flächenformel Trapez (sehr gute Näherung)
3) Problemfall: Hier weiß ich, dass es ein mathematisches Verfahren gibt (auch über die Flächenberechnung Trapez), mit der ich den restlichen Teil berechnen kann. Wenn ich nur ein Trapez annehme, habe ich einen relativ großen Bereich der ungenau hinzukommt (rote Fläche).



Jetzt hatte ich noch einen mathematischen Begriff gehört (aber leider vergessen ) mit der man das relativ genau über die Trapezformel hinbekommen kann. Soweit ich mich noch erinnere, war ein Teil davon, dass man das Trapez 2x 1/2 berechnet oder so ähnlich.

Wie bekomme ich das jetzt möglichst genau hin?
Das sollte auch für andere Funktionen die änlich, aber nicht genau gleich sind, anwendbar sein, dass man die gesamte Flächen dieser Funktionen dann in einer Excel-Tabelle sammeln kann.

Danke!

[Graf.Graph]

Warum integrierst Du nicht einfach in den vorgegebenen Grenzen?
Komplett unbekannt wird die Funktion ja nicht sein - wenn Du z.B. einzelne Punkte hast, kannste Dir damit ja eine Funktion interpolieren und dann deren Flächeninhalt ausrechnen.

Fkt. interpolieren dürfte sogar Excel beherrschen. Oder MUSS es diese behelfsmäßige Rechenart sein?

[geco]

Warum integrierst Du nicht einfach in den vorgegebenen Grenzen?
Komplett unbekannt wird die Funktion ja nicht sein - wenn Du z.B. einzelne Punkte hast, kannste Dir damit ja eine Funktion interpolieren und dann deren Flächeninhalt ausrechnen.

Fkt. interpolieren dürfte sogar Excel beherrschen. Oder MUSS es diese behelfsmäßige Rechenart sein?

Wäre schon gut, wenn es nach dem beschriebenen Schema abläuft.

Hast Du nähere Infos zu Deinem Verfahren?

[Nomschta]

was hast du überhaupt? ist alles ein bisschen wischiwaschi.

[Graf.Graph]

Ggf. möchtest Du auf Ober- und Untersummenverfahren hinaus?
Das wird gern bei der Einführung zur Integration verwendet.



Besorg dir mal 'n Mathebuch wie z.B. den Papula Mathematik 1 - Kapitel V Integralrechnung, Unterkapitel 2: Das bestimmte Integral als Flacheninhalt. Halte ich noch für das verständlichste Mathebuch.

Kurztext: Stammfunktion deiner Funktion bilden und Grenzen einsetzen.

Beispiel mit Wolframalpha:

Mit gegebenen Punkten eine Funktion (hier dritten Grades, das dürfte schon höher als benötigt sein) bilden: (Eingabe der Punkte in der Form x-Wert, y-Wert. Komma in Deutschland wird in USA als Punkt geschrieben).

cubic fit {1.3, 2.2},{2.1, 5.8},{3.7, 10.2},{4.2, 11.8} - Wolfram|Alpha

Die berechnete Funktion wird nun einfach in gegebenen Grenzen integriert:

integrate -8.92677+11.9599 x-3.039 x^2+0.325328 x^3 from 0 to 6 - Wolfram|Alpha

Deine Methode ist schon bei Abschnitt 2 eher ungenau, da kannst Du auch Kästchen auf kariertem Papier zählen...
Wenn Dir Integration bisschen hoch ist, dürfte das Ober-/ Untersummenverfahren recht gute Ergebnisse bringen.

Aber wie Nomschta schon schrieb, dein Problem und deine Vorkenntnisse mal bisschen mehr beschrieben, so kann man Dir eher wenig helfen.

[mac_mario]

Das sieht für mich eher nach numerischer Integration aus. Die Trapezformel für zwei gegebene Stellen a,b gibt ein relativ schlechtes Ergebnis. Genauer kann das z.B. durch iterative Quadraturformeln bestimmt werden. Hierbei zerhackst du das Intervall [a,b] in gleich große Stücke und wendest dann auf diese die Trapezformel an.
Das läuft unter dem Stichwort "Zusammengesetzte Quadraturformeln" bzw. "Iterierte Quadraturformeln".

Besser sollte aber die Romberg-Integration funktionieren. Dazu kann ich aber nichts weiter sagen. In meiner Numerikvorlesung wurde es nicht behandelt und bisher habe ich es auch nicht wieder benötigt.
http://de.wikipedia.org/wiki/Romberg-Integration

Stammfunktionen können übrigens nicht immer einfach hingeschrieben werden, z.B. bei der Gaußschen Glockenkurve. Hier kommt man mit der Analysis nur Umwege zum Ziel. Das Riemann-Integral (Ober- und Untersumme gegeneinander konvergieren lassen) funktioniert auch nur bei speziellen Funktionen. Inwieweit das aber für Ingenieure ausreicht, weiß ich nicht.

[geco]

Hey,

super, Danke! Händisch war es das Ober-/Untersummenverfahren

Danke für die Infos!
Jetzt habe ich allerdings eine Excel-File mit den x und y-Werten.
Ich weiß, selber suchen macht klug, aber kennt ihr zufällig gerade einen Weg mit Excel, mit dem ich aus diesen Werten die Fläche berechnen kann?

Danke!

[mac_mario]

Genau das tut die numerische Integration. Anhand von Stützpunkten, die auf dem Funktionsgraphen liegen, wird der Flächeninhalt approximiert. Es lässt sich also ohne weiteres auf deine Excel-Daten anwenden. Ob die rekursiven Formeln auch ohne Makro direkt in die Zellen eingegeben werden können, weiß ich nicht, aber dein Problem lässt sich auf jeden Fall lösen.