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zu praktisch allem bekomm ich keinen ansatz hin, der mir weiterhilft. mag sein dass ich einfach zu müde oder zu dumm bin, wär aber trotzdem nett wenn mir jemand näher bringen könnte, wie ich da zu nem ergebnis komme.
13. im prinzip funktioniert das ja wie bei wörtern die alphabetisch geordnet werden. erst wird nach dem ersten (buchstaben) sortiert und wenn der gleich ist nach dem zweiten, soweit klar.
in RxR wär das ganze dann wohl so eine art spaltensprung, also erst von unten nach oben eine spalte durch und dann gehts in der nächsten spalte unten weiter.
Aber darauf, wie ich jetzt zeigen könnte, dass das auf AxA ne totale ordnung ist, komm ich irgendwie nicht...
14. ka wie ich da anfangen soll...
15. ok, das ding stellt ja im prinzip ne umkehrfunktion dar. allerdings raff ich irgendwie nicht was eine leere faser sein soll (sind das die f^-1(b) zu denen es kein a gibt?) bzw was ich da ansetzen könnte...
16.
a. g°f ist ja das gleiche wie g(f), also eine abbildung A->A, a|->g(f(a)). wenn die =idA sein soll, muss ja g(f(a))=a für alle a€A sein. wie kann ich jetzt zeigen, dass f injektiv ist?
b. nach dem gleichen prinzip wie oben bin ich auf f°h: B->B, b|->f(h(b)) und f(h(b))=b gekommen, aber auch nicht weiter :/
17. muss ich mir noch näher anschauen, auf den ersten blick wüsste ich auch nicht wie ich da anfangen könnte...
jo, wie man sieht hab ich mit dem ganzen "beweisen sie"-/"zeigen sie"-zeugs noch so meine probleme. gibts da irgend ne tolle grundidee auf ne lösung zu kommen, ohne alles mögliche durchzuprobieren?
hab übrigens nur noch bis freitag zeit, danach bin ich natürlich auch dankbar für erklärungen, aber davor wär's besser
Hi.
Da kam mir leider der Forumscrash in die Quere, aber ich schreibe mal trotzdem noch etwas dazu, auch, wenn der Abgabetermin wohl schon vorbei ist.
13) Wie habt ihr eine totale Ordnung definiert?
Ist es eine reflexive, antisymmetrische, transitive Relation, die weiterhin die Eigenschaft hat, dass zu a,b aus A entweder a R b oder b R a, dass also alle Elemente in Relation stehen (das dürfte es sein, was man total nennt, oder?)?
Und wenn ja, was bedeutet dann das Zeichen nach dem Äquivalenzpfeil in der 1. Klammer zwischen a und u? Ist das eine neue Relation, die aus der ursprünglichen totalen Ordnung hervorgeht, indem man alle Paare (a,a) entfernt und, wenn sowohl (x,y) als auch (y,x) vorkommt, auch diese beiden Paare entfernt?
Mache dich doch dann mal dran, für die neue Relation erstmal all' die Eigenschaften zu prüfen, die eine totale Ordnung nunmal ausmachen. Ist sie reflexiv? Ist sie antisymmetrisch? Ist sie transitiv? Ist sie total?
Das ist immer der Weg bei Aufgaben, bei denen es darum geht, zu prüfen, ob es sich bei einem Objekt um etwas bestimmtes handelt, einfach alle Punkte der Definition durchgehen und überprüfen, ob sie gelten.
14) Seien x,y aus A. Dann gibt es i,j aus I, so dass x aus A_i und y aus A_j ist. Wir nennen x und y äquivalent, wenn i=j ist, wenn sie also in der gleichen Menge der Zerlegung liegen.
Überprüfe, dass hierdurch eine Äquivalenzrelation gegeben ist, dass die eben definierte Relation also reflexiv, symmetrisch und transitiv ist, überlege dir, dass ihre Äquivalenzklassen gerade die Mengen der Zerlegung sind und dass man automatisch zu dieser Definition geführt wird, wenn man eine Äquivalenzrelation sucht, deren Restklassen die Mengen der Zerlegung sind.
Ich denke, diese Aufgabe ist nicht schwer.
15) Was für Eigenschaften hat denn eine Überdeckung von A? Es ist ein System von nichtleeren Teilmengen von A, die paarweise disjunkt sind und die A überdecken. Genau diese 2 Eigenschaften musst du also für die Fasern überprüfen.
Sei x aus A. Kannst du nicht ganz einfach ein y aus B finden, so dass x in der Faser von f über y liegt? Damit wäre dann schonmal gezeigt, dass die Fasern die Menge A überdecken, denn damit läge dann, da x beliebig war, jedes x in einer Faser.
Um jetzt zu zeigen, dass die Fasern paarweise disjunkt sind, nimmst du an, dass x in zwei verschiedenen Phasern läge. Das führt nämlich auf Grund der Definition einer Funktion (jedem x wird GENAU ein y zugeordnet) sofort zu einem Widerspruch und damit bist du fertig.
16) Ich zeige dir die 1. Aufgabe:
Überlege dir zuerst, was es bedeutet, dass eine Funktion injektiv ist. Es heißt, dass aus x1 != x2 folgt, dass f(x1) != f(x2) ist.
Wir haben 2 Richtungen zu zeigen, einmal, dass es eine solche Abbildung g gibt, wenn f injektiv ist und außerdem, dass f injektiv ist, wenn es eine solche Abbildung gibt (dass wir 2 Richtungen zu zeigen haben, sieht man schon an dem "genau dann").
Nehmen wir uns mal die 1. vor, sei also f injektiv. Dann erfüllt die Abbildung g:f(A)->A mit y|->f^{-1}(y) die Forderung, da die Funktion f:A->f(A) nach Voraussetzung injektiv, offensichtlich aber auch surjektiv ist und damit eine Umkehrfunktion f^{-1} besitzt. Damit ist die eine Richtung bewiesen.
Nun die 2. Richtung:
Es gebe also eine Abbildung g mit der in der Aufgabe genannten Eigenschaft.
Nehmen wir an, f sei nicht injektiv, dann gäbe es also x,y aus A mit x!=y und f(x)=f(y)=a (ich bezeichne diesen gemeinsamen Wert mit a). Nach Definition von g muss gelten:
g(f(x))=x sowie g(f(y))=y, also
g(a)=x und g(a)=y mit x!=y, offensichtlicher Widerspruch zur grundlegenden Eigenschaft einer Funktion, also muss f doch injektiv sein. Damit ist alles gezeigt (wobei es sicher auch eleganter geht, ich bin mit den Formulierungen, die ich gewählt habe, auch nicht zufrieden, aber es soll ja auch mehr oder weniger nur eine Skizze für dich sein).
Probiere mal etwas ähnliches für b). Mache dir erst klar, was surjektiv bedeutet und versuche dann, nacheinander beide Richtungen zu zeigen.
17) Du weißt, was es bedeutet, wenn 2 Mengen C und D gleich sind?
C muss Teilmenge von D sein und D muss Teilmenge von C sein. Und genau so musst du bei dieser Aufgabe die Gleichheit auch zeigen.
Ich zeige dir mal a) und b):
a) Um zu zeigen, dass eine Menge Teilmenge einer anderen ist, nehmen wir uns ein Element aus der 1. Menge und zeigen, dass es ein Element der 2. ist.
Wenn f(A geschnitten B) leer ist, ist nichts zu zeigen, da die leere Menge Teilmenge jeder Menge ist, wir können sie also als nichtleer annehmen (damit enthält sie zwangsläufig mindestens 1 Element, was ich nun verwenden werde):
Sei also y aus f(A geschnitten B).
Das bedeutet nach der obigen Definition, dass es ein x aus A geschnitten B gibt, so dass y=f(x). x aus A geschnitten B bedeutet, dass x sowohl in A, als auch in B liegt. Da x in a liegt, liegt y=f(x) in f(A) und da x in B liegt, liegt y=f(x) in B, insgesamt y also auch in A geschnitten B, womit alles gezeigt ist.
b) Wieder 2 Richtungen, da ein genau dann auftritt.
Für die Gleichheit müssen wir wie gesagt zeigen, dass die Mengen auf beiden Seiten des Gleichheitszeichens Teilmengen voneinander sind.
Dass die linke Seite Teilmenge der rechten ist, haben wir bereits gezeigt. Wenn f injektiv ist, soll die Gleichheit gelten, das heißt, auch die rechte Seite muss Teilmenge der linken sein. Zeigen wir das also:
f sei injektiv.
Ist f(A) geschnitten f(B) leer, ist wiederum nichts zu zeigen, wir können es also wieder als nichtleer annehmen.
Sei y aus f(A) geschnitten f(B).
Das heißt, dass y sowohl aus f(A) als auch aus f(B) ist. Das heißt, es gibt x1 aus A, so dass y=f(x1), sowie x2 aus B, so dass y=f(x2). Doch Moment, f ist injektiv, also folgt daraus zwingend x1=x2=x (ich bezeichne es, da es sich in Wirklichkeit nur um 1 Element handelt, jetzt mit x). x liegt also sowohl in A als auch in B und es gilt f(x)=y. Da x also in A geschnitten B liegt, ist damit gezeigt, dass y in f(A geschnitten B) liegt, damit ist die eine Richtung gezeigt.
Jetzt müssen wir die andere Richtung zeigen, dass also f sicher injektiv ist, wenn die Gleichung gilt (ich nehme an, das hier gemeint ist, dass es für alle A und B gelten soll, denn sonst findet man, indem man zum Beispiel A leer wählt, sofort einen Widerspruch zur Behauptung).
Angenommen, f wäre nicht injektiv, das bedeutet, es gibt x1,x2 aus A mit x1 != x2 und f(x1)=f(x2)=y.
Wähle A={x1}, B={x2}, so ist f(A) geschnitten f(B) gerade y, also nichtleer.
Doch offensichtlich ist A geschnitten B leer, da x1 und x2 ja verschieden sind, also ist auch f(A geschnitten B) leer und damit ist y auch nicht in f(A geschnitten B), also die rechte Seite keine Teilmenge der linken, also die Mengen nicht gleich, was zu zeigen war.
So, ich hoffe, was ich erzählt habe, stimmt einigermaßen und dass es dir ein bisschen geholfen hat, die Aufgaben zu verstehen.
Versuche die Aufgaben jetzt nochmal und schau', ob sie dir mit meinen Tipps jetzt klarer sind.
Viel Erfolg
Philipp
PS: Ich hatte keine Lust, es jetzt nochmal Korrektur zu lesen, sieh also bitte über Schreib- und offensichtliche Tippfehler hinweg.
Original erstellt von UP jo, wie man sieht hab ich mit dem ganzen "beweisen sie"-/"zeigen sie"-zeugs noch so meine probleme. gibts da irgend ne tolle grundidee auf ne lösung zu kommen, ohne alles mögliche durchzuprobieren?
das ist genau das, worauf es in deinem studium ankommen wird. voraussichtlich wird fast jeder aufgabenzettel von dir verlangen, dass zu bestimmte zusammenhaenge zeigst/beweist.
am anfang war die herangehensweise fuer mich auch schwer -- aus der schule ist man meistens an eine relativ unsaubere mathematik gewoehnt.
irgendwann wirds aber soweit sein, dass du sofort siehst, was der richtige beweisweg sein wird. dann siehst du "hey, das schreit ja nach vlst. induktion" oder "oh .. das sieht ja nach Cauchy-Schwartzscher Ungleichung aus" (diese beiden Begriffe gehoeren zur Standardausstattung jedes Analysis 1-Hörers ).
um erfolgreich zu sein in den beweismethoden empfehle ich dir: sieh dir die beweise aus den vorlesungen und aus deinen buechern an, und versuche sie *ganz* zu verstehen. das heisst, nicht nur die einzelnen umformungen und folgerungen, sondern die ganze beweis-idee! so dass du in worten erklaeren kannst, welche schritte warum noetig sind.
und vergiss nicht: scheitern gehoert dazu. gerade im mathestudium. mal nen uebungszettel total versauen, punktabzuege wegen 'schlechter form' bekommen - das laesst sich meistens nicht vermeiden. irgendwann hast dus raus.
eine ''tolle grundidee'' gibt es i.a. nicht. nur ein "tolles grundgefuehl fuer mathematik".
