hi
folgende aufgabe
beschreiben sie folgende mengen als vereinigung und/oder durchschnitt von intervallen.
anmerkung: f-1 deklarier ich mal als umkehrfunktion
(a) f-1 ([-1,1]\{0}) geschnitten ]0,2*pi], mit f(x) = sin(x)
umkehrfunktion von sin(x) ist ja bekanntlich arcsin(x). also einfach de intervallgrenzen in arcsin(x) einsetzen? funktion.exe v1.14 sagt folgendes dazu:
f(-1)=-1.57....
f(0.99)=1.43...
f(1) ist nicht definiert
und dieses neue intervall [-1.57,1.43] dann einfach geschnitten ]0,2*pi] ???
hört sich alles mächtig komisch an. hat mal wer nen durchblick?
(b) f-1 (]2,5[), mit f(x) = |x|
weder DB noch WB sind gegeben
meiner meinung ist f(x) nicht unkehrbahr da sie nicht bijektiv ist und somit kann man da auch kein intervall angeben. kann man nun als lösungsmenge die leere menge angeben oder ist das formal nicht korrekt? meinungen?
thx 4 help
iggi
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Skizzierung von Mengen + Umkehrfunktion
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j5pXcaA4
Hi.
Mit f^{-1} ist nicht die Umkehrfunktion gemeint (diese existiert in beiden Fällen nicht (arcsin ist nur lokal eine Umkehrfunktion des sin, global ist der Sinus auf Grund seiner Periodizität nicht umkehrbar)), vielmehr sollst du das Urbild der entsprechenden Mengen bestimmen.
Die entsprechende Definition lautet:
Sei f:A->B eine Funktion und C eine Teilmenge von B. Dann gilt:
f^{-1}(C):={x aus A| f(x) in C}
Versuche erstmal b), das dürfte leichter sein.
Du sollst also die Menge aller x bestimmen, so dass der Betrag von x in ]2,5[ liegt und diese Menge anschließend als Vereinigung von Intervallen schreiben.
Probiere es jetzt nochmal, nach dem die Begriffe hoffentlich klar sind.
Viel Erfolg
Philipp
Mit f^{-1} ist nicht die Umkehrfunktion gemeint (diese existiert in beiden Fällen nicht (arcsin ist nur lokal eine Umkehrfunktion des sin, global ist der Sinus auf Grund seiner Periodizität nicht umkehrbar)), vielmehr sollst du das Urbild der entsprechenden Mengen bestimmen.
Die entsprechende Definition lautet:
Sei f:A->B eine Funktion und C eine Teilmenge von B. Dann gilt:
f^{-1}(C):={x aus A| f(x) in C}
Versuche erstmal b), das dürfte leichter sein.
Du sollst also die Menge aller x bestimmen, so dass der Betrag von x in ]2,5[ liegt und diese Menge anschließend als Vereinigung von Intervallen schreiben.
Probiere es jetzt nochmal, nach dem die Begriffe hoffentlich klar sind.
Viel Erfolg
Philipp
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iggi2
das wär für mich der wertebereichOriginal erstellt von Philipp-ER
Du sollst also die Menge aller x bestimmen, so dass der Betrag von x in ]2,5[ liegt und diese Menge anschließend als Vereinigung von Intervallen schreiben.
korrigier mich bitte
für (b) wäre dann ]-5,-2] vereinigt [2,5[ richtig?
(c) f([-2,2]) vereinigt ]0,10], mit f(x)=x²
nach deiner anleitung dann [-sqrt(10),sqrt(10)]\{0}
aber ich lieg bestimmt falsch.
vorher hatte ich einfach [0,10]. sozusagen das intervall [-2,2] in f(x) eingesetzt und die ergebnisse mit ]0,10] vereinigt.
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j5pXcaA4
Der Wertebereich ist etwas anderes, der ist (mit den Bezeichnungen von oben) gerade f(A), also {f(x)|x in A}.
(-5,-2) vereinigt (2,5) muss es bei b) heißen, also jeweils offene Intervalle, die 2 gehört ja nicht mehr zum Bildintervall.
Deine neue Lösung für c) stimmt nicht, wir haben hier ja auch nicht mehr f^{-1}, sondern f (aber auch sonst verstehe ich nicht, wie du zu deiner Antwort kommst).
Wenn wir eine Funktion f:A->B haben, so ist für eine Teilmenge C von A der Ausdruck f(C) wie folgt definiert:
f(C):={f(x)|x in C}, also "C in f eingesetzt", wie du sagst.
Dein voriges Ergebnis [0,10] ist damit tatsächlich richtig, denn für f([-2,2]) ergibt sich [0,4] und dies vereinigt mit (0,10] ist dann [0,10]
Schau dir aber auch a) nochmal an, da stimmt nämlich noch so ziemlich gar nichts.
(-5,-2) vereinigt (2,5) muss es bei b) heißen, also jeweils offene Intervalle, die 2 gehört ja nicht mehr zum Bildintervall.
Deine neue Lösung für c) stimmt nicht, wir haben hier ja auch nicht mehr f^{-1}, sondern f (aber auch sonst verstehe ich nicht, wie du zu deiner Antwort kommst).
Wenn wir eine Funktion f:A->B haben, so ist für eine Teilmenge C von A der Ausdruck f(C) wie folgt definiert:
f(C):={f(x)|x in C}, also "C in f eingesetzt", wie du sagst.
Dein voriges Ergebnis [0,10] ist damit tatsächlich richtig, denn für f([-2,2]) ergibt sich [0,4] und dies vereinigt mit (0,10] ist dann [0,10]
Schau dir aber auch a) nochmal an, da stimmt nämlich noch so ziemlich gar nichts.
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j5pXcaA4
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iggi2